Di sini kita akan membuktikan masalah pada identitas trigonometri. Dalam sebuah identitas ada dua sisi persamaan, satu sisi dikenal sebagai 'sisi kiri' dan sisi lain dikenal sebagai 'sisi kanan' dan untuk membuktikan identitas kita perlu menggunakan langkah-langkah logis yang menunjukkan bahwa satu sisi dari persamaan-persamaan berakhir dengan sisi lain dari persamaan.
Membuktikan masalah pada identitas trigonometri:
1. (1 - sin A)/(1 + sin A) = (sec A - tan A)2
Solusi:
(1 - sin A)/(1 + sin A) = (1 - sin A)2/(1 - sin A) (1 + sin A),
[kalikan pembilang dan penyebut dengan (1 - sin A)]
= (1 - sin A)2/(1 - sin2 A)
= (1 - sin A)2/(cos2 A), [Since sin2 θ + cos2 θ = 1 ⇒ cos2 θ = 1 - sin2 θ]
= {(1 - sin A)/cos A}2
= (1/cos A - sin A/cos A)2
= (sec A – tan A)2 (TERBUKTI)
2. Buktikan √{(sec θ – 1)/(sec θ + 1)} = cosec θ - cot θ
Solusi:
[mengalikan pembilang dan penyebut dengan (sec θ - 1) di bawah tanda radikal]
√[{(sec θ - 1) (sec θ - 1)}/{(sec θ + 1) (sec θ - 1)}] = √{(sec θ - 1)2/(sec2 θ - 1)}
=√{(sec θ -1)2/tan2 θ}; [since, sec2 θ = 1 + tan2 θ ⇒ sec2 θ - 1 = tan2 θ]
= (sec θ – 1)/tan θ
= (sec θ/tan θ) – (1/tan θ)
= {(1/cos θ)/(sin θ/cos θ)} - cot θ
= {(1/cos θ) × (cos θ/sin θ)} - cot θ
= (1/sin θ) - cot θ
= cosec θ - cot θ (TERBUKTI)
3. Buktikan tan4θ + tan2θ = sec4 θ - sec2 θ
Solusi:
tan4 θ + tan2 θ = tan2 θ (tan2 θ + 1)
= (sec2 θ - 1) (tan2 θ + 1) [since, tan2 θ = sec2 θ – 1]
= (sec2 θ - 1) sec2 θ [since, tan2 θ + 1 = sec2 θ]
= sec4 θ - sec2 θ (TERBUKTI)
Lebih banyak masalah pada identitas trigonometri ditunjukkan di mana satu sisi identitas berakhir dengan sisi lain.
4. Tunjukkan cos θ/(1 - tan θ) + sin θ/(1 - cot θ) = sin θ + cos θ
Solusi:
cos θ/(1 - tan θ) + sin θ/(1 - cot θ) = cos θ/{1 - (sin θ/cos θ)} + sin θ/{1 - (cos θ/sin θ)}
= cos2θ/(cos θ - sin θ) + sin2θ/(cos θ - sin θ)
= (cos2 θ - sin2 θ)/(cos θ - sin θ)
= [(cos θ + sin θ)(cos θ - sin θ)]/(cos θ - sin θ)
= (cos θ + sin θ) (TERBUKTI)
5. Buktikan, 1/(csc A - cot A) - 1/sin A = 1/sin A - 1/(csc A + cot A)
Solusi:
1/(csc A - cot A) + 1/(csc A + cot A) = (csc A + cot A + csc A - cot A)/(csc2A - cot2 A)
= (2 csc A)/1; [karena, csc2 A = 1 + cot2 A ⇒ csc2A - cot2 A = 1]
= 2/sin A; [karena, csc A = 1/sin A]
karena itu,
1/(csc A - cot A) + 1/(csc A + cot A) = 2/sin A
⇒ 1/(csc A - cot A) + 1/(csc A + cot A) = 1/sin A + 1/sin A
Jadi, 1/(csc A - cot A) - 1/sin A = 1/sin A - 1/(csc A + cot A)
6. (tan θ + sec θ - 1)/(tan θ - sec θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ
Solusi:
(tan θ + sec θ - 1)/(tan θ - sec θ + 1) = [(tan θ + sec θ) - (sec2 θ - tan2 θ)]/(tan θ - sec θ + 1), [Since, sec2 θ - tan2 θ = 1]
= {(tan θ + sec θ) - (sec θ + tan θ) (sec θ - tan θ)}/(tan θ - sec θ + 1)
= {(tan θ + sec θ) (1 - sec θ + tan θ)}/(tan θ - sec θ + 1)
= {(tan θ + sec θ) (tan θ - sec θ + 1)}/(tan θ - sec θ + 1)
= tan θ + sec θ
= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)
= (sin θ + 1)/cos θ
= (1 + sin θ)/cos θ (TERBUKTI)
Fungsi Trigonometri
